Question

13．已知圆C的周长被y轴平分，且经过点A（$\sqrt{3}$，0），B（0，3）．
（1）求圆C的方程；
（2）过原点O作两条直线l₁：y=k₁x交圆C于点E（x₁，y₁）、F（x₂，y₂），作直线l₂：y=k₂x交圆C于点G（x₃，y₃）、H（x₄，y₄）（其中y₂＞0，y₄＞0），设EH交x轴于点Q，GF交x轴于点R（如图）
①求证：$\frac{{k}_{1}{x}_{1}{x}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=$\frac{{k}_{2}{x}_{3}{x}_{4}}{{x}_{3}+{x}_{4}}$；
②求证：|OQ|=|OR|．（证明过程不考虑EH或GF垂直于x轴的情形）

Answer 1

分析 （1）设圆C的一点P（x，y），连接AC，利用勾股定理即可求出圆C的半径，从而写出圆C的方程；
（2）①将直线l₁、l₂的方程分别代入圆C的方程，整理后利用根与系数的关系，即可证明等式成立；
②设出点Q、R的坐标，由E、Q、H三点共线和F、R、G三点共线，结合①的结论，即可证明|OQ|=|OR|．

解答 解：（1）设圆C的一点P（x，y），连接AC，设圆C的半径为r，
在Rt△AOC中，AC²=OC²+OA²，
即r²=（3-r）²+${（\sqrt{3}）}^{2}$，
解得r=2；
又C（0，1），
∴PC=2，
∴x²+（y-1）²=4，
化为一般方程是x²+y²-2y-3=0，
即圆C的方程为x²+y²-2y-3=0；
（2）①将直线l₁：y=k₁x代入圆C的方程，
整理得（${{k}_{1}}^{2}$+1）x²-2k₁x-3=0，
由根与系数的关系得x₁+x₂=$\frac{{2k}_{1}}{{{k}_{1}}^{2}+1}$，x₁x₂=-$\frac{3}{{{k}_{1}}^{2}+1}$（i），
将直线l₂：y=k₂x代入圆C的方程，
整理得（${{k}_{2}}^{2}$+1）x²-2k₂x-3=0，
由根与系数的关系得x₃+x₄=$\frac{{2k}_{2}}{{{k}_{2}}^{2}+1}$，x₃x₄=-$\frac{3}{{{k}_{2}}^{2}+1}$（ii）；
由（i）、（ii）可得$\frac{{{{k}_{1}x}_{1}x}_{2}}{{x}_{1}{+x}_{2}}$=-$\frac{3}{2}$，$\frac{{{{k}_{2}x}_{3}x}_{4}}{{x}_{3}{+x}_{4}}$=-$\frac{3}{2}$，
所以$\frac{{k}_{1}{x}_{1}{x}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=$\frac{{k}_{2}{x}_{3}{x}_{4}}{{x}_{3}+{x}_{4}}$；
②设点Q（q，0），R（r，0），由E、Q、H三点共线，
得$\frac{{x}_{1}-q}{{{k}_{1}x}_{1}}$=$\frac{{x}_{4}-q}{{{k}_{2}x}_{4}}$，解得q=$\frac{{（k}_{1}{-k}_{2}{{）x}_{1}x}_{4}}{{{k}_{1}x}_{1}{{-k}_{2}x}_{4}}$，
同理，由F、R、G三点共线，求得r=$\frac{{（k}_{1}{-k}_{2}{{）x}_{2}x}_{3}}{{{k}_{1}x}_{2}{{-k}_{2}x}_{3}}$，
又$\frac{{k}_{1}{x}_{1}{x}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=$\frac{{k}_{2}{x}_{3}{x}_{4}}{{x}_{3}+{x}_{4}}$，变形得$\frac{{{x}_{2}x}_{3}}{{{k}_{1}x}_{2}{{-k}_{2}x}_{3}}$=-$\frac{{{x}_{1}x}_{4}}{{{k}_{1}x}_{1}{{-k}_{2}x}_{4}}$，
所以$\frac{{（k}_{1}{-k}_{2}{{）x}_{2}x}_{3}}{{{k}_{1}x}_{2}{{-k}_{2}x}_{3}}$+$\frac{{（k}_{1}{-k}_{2}{{）x}_{1}x}_{4}}{{{k}_{1}x}_{1}{{-k}_{2}x}_{4}}$=0，
即q+r=0，所以|q|=|r|，
即|OQ|=|OR|．

点评 本题考查了直线与圆的方程的应用问题，也考查了由直线方程与圆的方程组成方程组以及根与系数关系的应用问题，是综合性题目．