Question

1．若关于x的方程2^2x+a•2^x+a+1=0只有一个实根，则实数a的取值范围为（-∞，-1]$∪\{2-2\sqrt{2}\}$．

Answer 1

分析 先令t=2^x，则关于t方程为t²+at+a+1=0 有实根，结合二次方程根的分布即可解出实数a的取值范围．

解答 解：令2^x=t＞0，原方程即为t²+at+a+1=0
则原方程有实根等价于关于t的方程t²+at+a+1=0只有一正根．
于是有f（0）＜0，即a+1＜0，解得a＜-1；
或f（0）=0并且$-\frac{a}{2}＞0$，即a+1=0并且$-\frac{a}{2}＞0$，解得a=-1．
或△=0并且$-\frac{a}{2}＞0$，即：a²-4a-4=0并且a＜0，解得a=2-2$\sqrt{2}$．
综上实数a的取值范围是（-∞，-1]∪{2-2$\sqrt{2}$}．
故答案为：（-∞，-1]∪{2-2$\sqrt{2}$}．

点评 本题主要考查了函数的零点与方程根的关系，以及利用二次方程根的分布求变量范围，属于中档题．