Question

如下图,四面体ABCD中,O,E分别是BD,BC的中点,CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=.

(1)求证:AO⊥平面BCD;

(2)求异面直线AB与CD所成角的大小;

(3)求点E到平面ACD的距离.

Answer 1

解法1：(1)证明:连结OC.

∵BO=DO,AB=AD,∴AO⊥BD.

∵BO=DO,BC=CD,∴CO⊥BD.

在△AOC中,由已知可得AO=1,CO=,

而AC=2,

∴AO²+CO²=AC².

∴∠AOC=90°,即AO⊥OC.

∵BD∩OC=O,∴AO⊥平面BCD.

(2)解:取AC的中点M,连结OM,ME,OE,

由E为BC的中点知ME∥AB,OE∥DC.

∴直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角.

在△OME中,

EM=AB=,OE=DC=1,

∵OM是Rt△AOC斜边AC上的中线,

∴OM=AC=1.

∴cosOEM=.

∴异面直线AB与CD所成角的大小为arccos.

(3)解:设点E到平面ACD的距离为h.

∵V _E—ACD=V _A—CDE,

∴h·S_△ACD=·AO·S_△CDE.

在△ACD中,CA=CD=2,AD=,

∴S_△ACD=××.

而AO=1,S_△CDE=××2²=,

∴h=.

∴点E到平面ACD的距离为.

解法2:(1)同解法1.

(2)解:如下图,以O为原点,建立空间直角坐标系,

则B(1,0,0),D(-1,0,0),C(0,,0),A(0,0,1),E(, ,0),=(-1,0,1),=(-1,- ,0).

∴cos＜,＞=.

∴异面直线AB与CD所成角的大小为arccos.

(3)解:设平面ACD的法向量为n=(x,y,z),

则

∴令y=1,得n=(-,1,,)是平面ACD的一个法向量.

又=(-,,0),

∴点E到平面ACD的距离h=