Question

6．点P（ x，y ）的坐标满足关系式$\left\{\begin{array}{l}{2x+y≥15}\\{x+3y≥27}\\{x≥2}\\{y≥3}\end{array}\right.$且x，y均为整数，则z=x+y的最小值为12，此时P点坐标是（3，9）或（4，8）．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数z=x+y的最小值．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．
由z=x+y得y=-x+z，平移直线y=-x+z，
由图象可知当直线y=-x+z经过点A时，
直线y=-x+z的截距最小，此时z最小．
由$\left\{\begin{array}{l}{2x+y=15}\\{x+3y=27}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{18}{5}}\\{y=\frac{39}{5}}\end{array}\right.$，即A（$\frac{18}{5}$，$\frac{39}{5}$），
∵x，y均为整数，∴点A不满足条件．
∵$\frac{18}{5}$+$\frac{39}{5}$=11$\frac{2}{5}$，
∴此时x+y=11$\frac{2}{5}$，
若x+y=12，得y=12-x，
代回不等式组得：$\left\{\begin{array}{l}{2x+12-x≥15}\\{x+3（12-x）≥27}\\{x≥2}\\{12-x≥3}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x≥3}\\{x≤\frac{9}{2}}\\{x≥2}\\{x≤9}\end{array}\right.$，
即3≤x≤$\frac{9}{2}$，
∵x是整数，
∴x=3或x=4，
若x=3，则y=9，
若x=4，则y=8，
即P（3，9）或P（4，8），
即z=x+y的最小值为12，
故答案为：12，（3，9）或（4，8）

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．本题由于x，y是整数，需要进行调整最优解．