Question

15．过点M（2，0）作直线L交双曲线x²-y²=1于A，B两点，若动点P满足$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$．
（1）求P点的轨迹方程；
（2）是否存在这样的直线L，使OAPB为矩形，若存在，求出L的方程，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）设出直线l的方程及A，B，P的坐标，双曲线方程联立消去x，进而根据韦达定理表示出y=y₁+y₂和x=x₁+x₂，进而联立消去m，即可求得P点的轨迹方程．
（2）分类讨论，利用x₁x₂+y₁y₂=0，把两根的和与积代入后整理得到结论．

解答 解：（1）设直线l：x=my+2，m≠±1，
并设点A，B，P的坐标分别是A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y），
由x=my+2与双曲线方程，消去x，得（m²-1）y²+4my+3=0，①
由直线l与双曲线有两个不同的交点，可得△=（4m）²-12（m²-1）＞0，即4m²+12＞0，恒成立，
由$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$，及方程①，得y=y₁+y₂=-$\frac{4m}{{m}^{2}-1}$，
x=x₁+x₂=（my₁+2）+（my₂+2）=-$\frac{4}{{m}^{2}-1}$，
将上方程组两式相除得，m=$\frac{y}{x}$，代入到方程x=-$\frac{4}{{m}^{2}-1}$，
整理，得x²-y²-4x=0．
综上所述，点P的轨迹方程为x²-y²-4x=0．
（2）当过M（2，0）的直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=2，把x=2代入双曲线x²-y²=1得，A（2，$\sqrt{3}$），B（2，-$\sqrt{3}$），此时不满足∠AOB=90°，
当过M（2，0）的直线l的斜率存在时，y₁y₂=$\frac{3}{{m}^{2}-1}$，
若∠AOB=90°，则x₁x₂+y₁y₂=$\frac{-{m}^{2}+4}{{m}^{2}-1}$+$\frac{3}{{m}^{2}-1}$=0
整理得，-m²+7=0．∴m=±$\sqrt{7}$，
∴存在直线L：x±$\sqrt{7}$y-2=0，使OAPB为矩形

点评 本题考查了直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线的关系问题，常用“设而不求的”解题方法，即利用一元二次方程的根与系数关系求得直线与圆锥曲线的两个交点的横坐标的和与积，此题考查了分类讨论的数学思想方法，是中档题．