Question

11．如图所示，点A，B，C是圆O上的三点，线段OC与线段AB交于圆内一点P，若$\overrightarrow{OC}$=m$\overrightarrow{OA}$+2m$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$，则λ=（　　）

• A． $\frac{5}{6}$
• B． $\frac{4}{5}$
• C． $\frac{3}{4}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 根据题意，利用平面向量的线性表示与共线定理，向量相等，列出方程组，解方程组即可求出λ的值．

解答 解：由$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{OP}$-$\overrightarrow{OA}$，且$\overrightarrow{OP}$和$\overrightarrow{OC}$共线，
∴存在实数μ，使：$\overrightarrow{OP}$=μ$\overrightarrow{OC}$=μ（m$\overrightarrow{OA}$+2m$\overrightarrow{OB}$）；
又$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$，
∴μ（m$\overrightarrow{OA}$+2m$\overrightarrow{OB}$）-$\overrightarrow{OA}$=λ（$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$），
即（μm-1）$\overrightarrow{OA}$+2μm$\overrightarrow{OB}$=λ$\overrightarrow{OB}$-λ$\overrightarrow{OA}$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{μm-1=-λ}\\{2μm=λ}\end{array}\right.$，
解得λ=$\frac{2}{3}$．
故选：D．

点评 本题考查了向量的线性运算，共线定理，共面定理的应用问题，是基础题目．