Question

3．给定椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），称圆心在原点O，半径为$\sqrt{{a^2}+{b^2}}$的圆是椭圆C的“准圆”．若椭圆C的一个焦点为F（$\sqrt{2}$，0），且其短轴上的一个端点到F的距离为$\sqrt{3}$．
（1）求椭圆C的方程和其“准圆”方程；
（2）过点（1，0）作一条倾斜角为30°的直线与椭圆交于A，B两点．若在椭圆上存在一点C满足$\overrightarrow{OC}$=λ（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$），试求λ的值；
（3）点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点，过动点P作直线l₁，l₂，使得l₁，l₂与椭圆C都只有一个交点，试判断l₁，l₂是否垂直，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）欲求椭圆C的方程和其“准圆”方程，只要求出半径$\sqrt{{a^2}+{b^2}}$即可，即分别求出椭圆方程中的a，b即得，这由题意不难求得；
（2）确定直线l的方程，代入椭圆方程并整理，利用韦达定理，结合$\overrightarrow{OC}$=λ（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$），求出C的坐标，代入椭圆方程，即可求λ的值．
（3）先分两种情况讨论：①当l₁，l₂中有一条无斜率时；②．②当l₁，l₂都有斜率时，第一种情形比较简单，对于第二种情形，将与椭圆只有一个公共点的直线为y=t（x-x₀）+y₀，代入椭圆方程，消去去y得到一个关于x的二次方程，根据根的判别式等于0得到一个方程：（3-x₀²）t²+2x₀y₀t+（x₀²-3）=0，而直线l₁，l₂的斜率正好是这个方程的两个根，从而证得l₁⊥l₂．

解答 解：（1）因为$c=\sqrt{2}，a=\sqrt{3}$，所以b=1
所以椭圆的方程为$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$，
准圆的方程为x²+y²=4．
（2）过点（1，0）作一条倾斜角为30°的直线的方程为y=tan30°（x-1）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-1），
代入椭圆方程$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$，
并整理得x²-x-1=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=1，
∴y₁+y₂=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x₁-1）+$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x₂-1）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x₁+x₂-2）=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴$\overrightarrow{OC}$=λ（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$）=λ（x₁+x₂，y₁+y₂）=λ（1，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$），
∴C点坐标为（λ，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$λ），
代入椭圆方程$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$，可得$\frac{{λ}^{2}}{3}$+$\frac{{λ}^{2}}{3}$=1，
∴2λ²=3，解得λ=±$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
（3）①当l₁，l₂中有一条无斜率时，不妨设l₁无斜率，
因为l₁与椭圆只有一个公共点，则其方程为$x=\sqrt{3}$或$x=-\sqrt{3}$，
当l₁方程为$x=\sqrt{3}$时，此时l₁与准圆交于点$（\sqrt{3}，1）（\sqrt{3}，-1）$，
此时经过点$（\sqrt{3}，1）$（或$\sqrt{3}，-1）$且与椭圆只有一个公共点的直线是y=1（或y=-1），
即l₂为y=1（或y=-1），显然直线l₁，l₂垂直；
同理可证l₁方程为$x=-\sqrt{3}$时，直线l₁，l₂垂直．
②当l₁，l₂都有斜率时，设点P（x₀，y₀），其中x₀²+y₀²=4，
设经过点P（x₀，y₀），与椭圆只有一个公共点的直线为y=t（x-x₀）+y₀，
则$\left\{\begin{array}{l}y=tx+（{y_0}-t{x_0}）\\ \frac{x^2}{3}+{y^2}=1\end{array}\right.$，消去y得到x²+3（tx+（y₀-tx₀））²-3=0，
即（1+3t²）x²+6t（y₀-tx₀）x+3（y₀-tx₀）²-3=0，△=[6t（y₀-tx₀）]²-4•（1+3t²）[3（y₀-tx₀）²-3]=0，
经过化简得到：（3-x₀²）t²+2x₀y₀t+1-y₀²=0，因为x₀²+y₀²=4，所以有（3-x₀²）t²+2x₀y₀t+（x₀²-3）=0，
设l₁，l₂的斜率分别为t₁，t₂，因为l₁，l₂与椭圆都只有一个公共点，
所以t₁，t₂满足上述方程（3-x₀²）t²+2x₀y₀t+（x₀²-3）=0，
所以t₁•t₂=-1，即l₁，l₂垂直．

点评 本题主要考查了椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的综合问题，突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高．综合性较强，难度较大．