Question

15．已知某几何体的三视图和直观图如图所示，其正视图为矩形，左视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．
（1）证明：平面BCN⊥平面C₁NB₁；
（2）求二面角C-NB₁-C₁的余弦值．

Answer 1

分析 （1）该几何体的正视图为矩形，左视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，BA，BC，BB₁两两垂直，以$\overrightarrow{BA}，\overrightarrow{B{B}_{1}}，\overrightarrow{BC}$分别作为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系．利用向量法能证明面BCN⊥面C₁NB₁．
（2）求出平面NCB₁的一个法向量和平面C₁B₁N的一个法向量，利用向量法能求出二面角C-NB₁-C₁的余弦值．

解答 证明：（1）∵该几何体的正视图为矩形，左视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，
∴BA，BC，BB₁两两垂直，以$\overrightarrow{BA}，\overrightarrow{B{B}_{1}}，\overrightarrow{BC}$分别作为x，y，z轴的正方向
建立如图所示的空间直角坐标系．
则B（0，0，0），N（4，4，0），B₁（0，8，0），C₁（0，8，4），C（0，0，4）
$\overrightarrow{BN}•\overrightarrow{N{B}_{1}}$=-16+16+0=0，$\overrightarrow{BN}•\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}$=0．
∴NB⊥NB₁，NB⊥B₁C₁，又NB₁与B₁C₁相交于B₁，∴NB⊥面C₁NB₁．
又NB⊆面BCN．∴面BCN⊥面C₁NB₁．…（6分）
解：（2）设$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）  是平面NCB₁的一个法向量，
$\overrightarrow{CN}$=（4，4，-4），$\overrightarrow{N{B}_{1}}$=（4，-4，0），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CN}=4x+4y-4z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{N{B}_{1}}=4x-4y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，2），
由（1）知$\overrightarrow{BN}$=（4，4，0）是平面C₁B₁N的一个法向量，
cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{BN}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BN}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{BN}|}$=$\frac{4+4}{\sqrt{32}•\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故二面角C-NB₁-C₁的余弦值为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$…（12分）

点评 本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．