Question

4．如图1，等腰直角三角形ABC的底边AB=4，点D在线段AC上，DE⊥AB于E，现将△ADE沿DE折起到△PDE的位置（如图2）．

（1）求证：PB⊥DE；
（2）若PE⊥BE，PE=1，求点B到平面PEC的距离．

Answer 1

分析 （1）根据线面垂直的判定定理和性质定理进行证明，
（2）根据点到直线的距离的定义，利用体积法进行求解即可．

解答 证明：（1）∵DE⊥AB，∴DE⊥PE，DE⊥EB．…（2分）
又∵PE∩BE=E，∴DE⊥平面PEB．…（4分）
∵PB?平面PEB，∴PB⊥DE．…（5分）
（2）由（1）知DE⊥PE，且PE⊥BE，DE∩BE=E，所以PE⊥平面BEDC．…（6分）
连结EC．∵PE=1，∴$DE=PE=1，AD=DC=\sqrt{2}$．
在△EDC中，∠EDC=135°，
由余弦定理得$E{C^2}=D{E^2}+D{C^2}-2DE×DC×cos∠EDC=1+2-2\sqrt{2}×（-\frac{{\sqrt{2}}}{2}）=5$，…（8分）
∴$EC=\sqrt{5}$，∴${S_{△PEC}}=\frac{1}{2}×PE×EC=\frac{{\sqrt{5}}}{2}$．…（10分）
设点B到平面PEC的距离为h，则由V_P-BEC=V_B-PEC得$\frac{1}{3}{S_{△PEC}}•h=\frac{1}{3}{S_{△BEC}}•PE$，
所以$\frac{{\sqrt{5}}}{2}h=\frac{1}{2}×3×2×1$，所以$h=\frac{{6\sqrt{5}}}{5}$．…（12分）

点评 本题主要考查空间直线和平面垂直的性质定理以及点到平面的距离，利用体积法是解决本题的关键．