Question

19．已知$\overrightarrow{a}$=（m，n-1），$\overrightarrow{b}$=（1，2）（m、n为正数），若$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，则$\frac{1}{m+1}$+$\frac{2}{n+1}$的最小值是$\frac{9}{5}$．

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，化为m+2n=2．利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=m+2（n-1）=0，化为m+2n=2．
∴m+1+2（n+1）=5．
又m、n为正数，
∴$\frac{1}{m+1}$+$\frac{2}{n+1}$=$\frac{1}{5}$[m+1+2（n+1）]$（\frac{1}{m+1}+\frac{2}{n+1}）$=$\frac{1}{5}$$[5+\frac{2（n+1）}{m+1}+\frac{2（m+1）}{n+1}]$≥$\frac{1}{5}$$（5+2×2×\sqrt{\frac{n+1}{m+1}×\frac{m+1}{n+1}}）$=$\frac{9}{5}$．当且仅当m=n=$\frac{2}{3}$时取等号．
∴$\frac{1}{m+1}$+$\frac{2}{n+1}$的最小值是$\frac{9}{5}$．
故答案为：$\frac{9}{5}$．

点评 本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．