Question

8．如图，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=1，D₁D=2，点P为棱CC₁的中点．
（1）设二面角A-A₁B-P的大小为θ，求sinθ的值；
（2）设M为线段A₁B上的一点，求$\frac{AM}{MP}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出sinθ的值．
（2）设M（x，y，z），由$\overrightarrow{BM}$=$λ\overrightarrow{B{A}_{1}}$，得M（1，1-λ，2λ），从而$\overrightarrow{MA}$=（0，λ-1，2λ），$\overrightarrow{MP}$=（-1，λ，1-2λ），由此利用换元法能求出$\frac{AM}{MP}$的取值范围．

解答 解：（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（1，0，0），A₁（1，0，2），B（1，1，0），P（0，1，1），
$\overrightarrow{B{A}_{1}}$=（0，-1，2），$\overrightarrow{BA}$=（0，-1，0），$\overrightarrow{BP}$=（-1，0，1），
设平面A₁BP的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BP}=-x+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{A}_{1}}=-y+2z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，2，1），
又平面A₁BA的法向量$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{6}}$，
∴sinθ=$\sqrt{1-（\frac{1}{\sqrt{6}}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{30}}{6}$．
∴sinθ的值为$\frac{\sqrt{30}}{6}$．
（2）设M（x，y，z），∵$\overrightarrow{BM}$=$λ\overrightarrow{B{A}_{1}}$，即（x-1，y-1，z）=λ（0，-1，2），
∴M（1，1-λ，2λ），
$\overrightarrow{MA}$=（0，λ-1，2λ），$\overrightarrow{MP}$=（-1，λ，1-2λ），
$\frac{AM}{MP}$=$\sqrt{\frac{（λ-1）^{2}+4{λ}^{2}}{1+{λ}^{2}+（1-2λ）^{2}}}$=$\sqrt{\frac{5{λ}^{2}-2λ+1}{5{λ}^{2}-4λ+2}}$=$\sqrt{1+\frac{2λ-1}{5{λ}^{2}-4λ+2}}$，
令2λ-1=t∈[-1，1]，
则$\frac{2λ-1}{5{λ}^{2}-4λ+2}$=$\frac{4t}{5{t}^{2}+2t+5}$，
当t∈[-1，0）时，$\frac{4t}{5{t}^{2}+2t+5}$∈[-$\frac{1}{2}$，0），
当t∈（0，1]时，$\frac{4t}{5{t}^{2}+2t+5}$∈（0，$\frac{1}{3}$），
当t=0时，$\frac{4t}{5{t}^{2}+2t+5}$=0，
∴$\frac{4t}{5{t}^{2}+2t+5}$∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$]，
∴$\frac{AM}{MP}$=$\sqrt{1+\frac{4t}{5{t}^{2}+2t+5}}$∈[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$]．

点评 本题考查角的正弦值的求法，考查两线段比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．