Question

17．已知函数f（x）=e|xe^x|，若函数y=[f（x）]²+bf（x）-2恰有三个不同的零点，则实数b的取值范围是（　　）

• A． （2$\sqrt{2}$，+∞）
• B． （-1，2$\sqrt{2}$）
• C． （1，+∞）
• D． （-3，+∞）

Answer 1

分析 函数f（x）=e|xe^x|是分段函数，通过求导分析得到函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，在（-∞，-1）上为增函数，在（-1，0）上为减函数，求得函数f（x）在（-∞，0）上，当x=-1时有一个最大值1，则要使函数y=[f（x）]²+bf（x）-2恰有三个不同的零点，f（x）的值一个要在（0，1）内，一个在（-∞，0）内，然后运用二次函数的图象及二次方程根的关系列式求解b的取值范围．

解答 解：f（x）=e|xe^x|=$\left\{\begin{array}{l}{ex•{e}^{x}，x≥0}\\{-ex•{e}^{x}，x＜0}\end{array}\right.$，
当x≥0时，f′（x）=e^x+1（x+1）≥0恒成立，
∴f（x）在[0，+∞）上为增函数；
当x＜0时，f′（x）=-e^x+1（x+1），
由f′（x）=0，得x=-1，当x∈（-∞，-1）时，f′（x）=-e^x+1（x+1）＞0，f（x）为增函数，
当x∈（-1，0）时，f′（x）=-e^x+1（x+1）＜0，f（x）为减函数，
∴函数f（x）=e|xe^x|的极大值为f（-1）=1．
极小值为f（0）=0．
令f（x）=m，则m²+bm-2=0．
要使函数y=[f（x）]²+bf（x）-2恰有三个不同的零点，
则m²+bm-2=0一根小于0，另一根大于0小于1．
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2＜0}\\{{1}^{2}+b-2＞0}\end{array}\right.$，
解得：b＞1．
∴实数b的取值范围是（1，+∞）．
故选：C．

点评 本题考查了根的存在性及根的个数的判断，考查了利用函数的导函数分析函数的单调性，考查了学生分析问题和解决问题的能力，解答此题的关键是分析出方程[f（x）]²+bf（x）-2=0有三个实数根时f（x）的取值情况，属中档题．