Question

6．一个五位自然数$\overline{{a}_{1}{a}_{2}{a}_{3}{a}_{4}{a}_{5}}$；a_i∈{0，1，2，3，4，5，6}，i=1，2，3，4，5，当且仅当a₁＜a₂＜a₃，a₃＞a₄＞a₅时称为“凸数”（如12543，34643等），则满足条件的五位自然数中“凸数”的个数为（　　）

• A． 81
• B． 171
• C． 231
• D． 371

Answer 1

分析 本题是一个分类计数问题，数字中a₃的值最小是3，最大是6，因此需要把a₃的值进行讨论，两边选出数字就可以，没有排列，写出所有的结果相加．

解答 解：由题意知本题是一个分类计数问题，
数字中a₃的值最小是3，最大是6，因此需要把a₃的值进行讨论，
当a₃=6时，前面两位数字可以从其余5个数中（不含0）选2个，有C₅²=10种结果，后面两位需要从其余6个数中选，有C₆²=10种结果，共有10×15=150种结果，
当a₃=5时，前面两位数字可以从其余4个数中（不含0）选2个，有C₄²=6种结果，后面两位需要从其余5个数中选，C₅²=10种结果，共有6×10=60种结果，
当a₃=4时，前面两位数字可以从其余3个数中（不含0）选2个，有C₃²=3种结果，后面两位需要从其余4个数中选，C₄²=6种结果，共有3×6=18种结果，
当a₃=3时，前面两位数字可以从其余2个数中（不含0）选2个，有C₂²=1种结果，后面两位需要从其余3个数中选，C₃²=3种结果，共有1×3=3种结果，
根据分类计数原理知共有150+60+18+3=231．
故选C．

点评 本题考查分类计数问题，考查利用列举得到所有的满足条件的结果数，本题要注意在确定中间一个数字后，两边的数字只要选出数字，顺序就自然形成，不用排列．