Question

2．在△ABC中，O为△ABC的外心，满足15$\overrightarrow{AO}$+8$\overrightarrow{BO}$+17$\overrightarrow{CO}$=$\overrightarrow{0}$，则∠C=$\frac{π}{4}$．

Answer 1

分析 设外接圆的半径为R，根据题意得15$\overrightarrow{AO}$+8$\overrightarrow{BO}$=-17$\overrightarrow{CO}$，两边平方得出$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{BO}$=0，即∠AOB=$\frac{π}{2}$，
再根据圆心角等于同弧所对的圆周的关系，得出角C的值．

解答 解：设外接圆的半径为R，O为△ABC的外心，且15$\overrightarrow{AO}$+8$\overrightarrow{BO}$+17$\overrightarrow{CO}$=$\overrightarrow{0}$，
所以15$\overrightarrow{AO}$+8$\overrightarrow{BO}$=-17$\overrightarrow{CO}$，
∴（15$\overrightarrow{AO}$+8$\overrightarrow{BO}$）²=（17$\overrightarrow{OC}$）²，
∴289R²+240$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{BO}$=289R²，
∴$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{BO}$=0，
∴∠AOB=$\frac{π}{2}$，
根据圆心角与同弧所对的圆周角的关系，如图所示：
所以△ABC中内角C的值为$\frac{π}{4}$．
故答案为：$\frac{π}{4}$．

点评 本题主要考查了三角形外心的应用、向量在几何中的应用等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于基础题．