Question

10．已知球O的半径为2，一圆锥内接于球O，且圆锥的下底面的内接正三角形的面积为$\frac{9\sqrt{3}}{4}$，则该圆锥的表面积为（2$\sqrt{3}$+3）π或9π．

Answer 1

分析 求出圆锥的下底面半径，由射影定理可得圆锥的高为h，母线长l，即可求出该圆锥的表面积．

解答 解：设圆锥的下底面的内接正三角形的边长为a，则$\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}$=$\frac{9\sqrt{3}}{4}$，
∴a=3，
∴圆锥的下底面半径为$\frac{\sqrt{3}}{3}×3$=$\sqrt{3}$，
设圆锥的高为h，母线长l，则由射影定理可得（$\sqrt{3}$）²=h（4-h），
∴h=1或3，
又l²=h•4，∴l=2或2$\sqrt{3}$，
∴该圆锥的表面积为πrl+πr²=（2$\sqrt{3}$+3）π或9π．
故答案为：（2$\sqrt{3}$+3）π或9π．

点评 本题考查圆锥的表面积，考查学生的计算能力，正确求出圆锥的高，母线长是关键．