Question

18．已知三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC，△ABC是边长为2等边三角形，侧棱与底面所成夹角的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，则该三棱锥外接球的表面积为6π．

Answer 1

分析 过点P作PH⊥平面ABC于H，可得∠PAH是直线PA与底面ABC所成的角，得cos∠PAH=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．求出PA=PB=PC=$\sqrt{2}$，将三棱锥扩充为正方体，其外接球为三棱锥外接球，正方体的对角线长为$\sqrt{6}$，可得三棱锥外接球的半径，即可求出三棱锥外接球的表面积．

解答 解：过点P作PH⊥平面ABC于H，则
∵AH是PA在平面ABC内的射影
∴∠PAH是直线PA与底面ABC所成的角，得cos∠PAH=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∵△ABC是边长为2等边三角形，
∴AH=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴Rt△PAH中，AH=PA∠PAH，∴PA=$\sqrt{2}$
∴PB=PC=$\sqrt{2}$，∴PA，PB，PC互相垂直，
将三棱锥扩充为正方体，其外接球为三棱锥外接球，正方体的对角线长为$\sqrt{6}$，
∴三棱锥外接球的半径R=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
因此该三棱锥外接球的表面积为S=4πR²=6π．
故答案为：6π．

点评 本题给出三棱锥的三条侧棱两两相等，在已知一条侧棱与底面所成角的情况下求外接球的表面积，着重考查了直线与平面所成角的定义、球内接多面体和球表面积的求法等知识，属于中档题．