Question

2．抛物线y²=6x，过点P（4，1）引一条弦，使它恰好被P点平分，则该弦所在的直线方程为3x-y-11=0．

Answer 1

分析 设过点P（4，1）的直线与抛物线的交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入抛物线的方程，相减，结合直线的斜率公式和中点坐标公式，以及点斜式方程可得直线方程，再由代入法，检验即可得到所求直线方程．

解答 解：设过点P（4，1）的直线与抛物线的交点
为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
即有y₁²=6x₁，y₂²=6x₂，
相减可得，（y₁-y₂）（y₁+y₂）=6（x₁-x₂），
即有k_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{6}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=$\frac{6}{2}$=3，
则直线方程为y-1=3（x-4），
即为3x-y-11=0．
将直线y=3x-11代入抛物线的方程，可得
9x²-72x+121=0，判别式为72²-4×9×121＞0，
故所求直线为3x-y-11=0．
故答案为：3x-y-11=0．

点评 本题考查直线方程的求法，注意运用抛物线的方程和点差法，同时要检验判别式是否等于0，属于中档题和易错题．