Question

17．设集合A={x|$\frac{1}{4}$≤2^x≤32}，B={x|x²-3mx+（2m+1）（m-1）＜0}．
（1）若m＞2且A∩B≠∅，求m的取值范围；
（2）若B⊆A，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）化简集合A，B，判断集合B的范围，利用交集不是空集，列出不等式即可求出m的范围．
（2）化简集合A={x|-2≤x≤5}，①当B=∅即 m=-2时，满足条件．②当B≠∅时，分m＜-2和m＞-2两种情况，分别由B⊆A，求得m的取值范围，再取并集．

解答 解：化简集合A={x|-2≤x≤5}，集合B可写为B={x|（x-m+1）（x-2m-1）＜0}．（2分）
（1）∵m＞2，∴2m-1＞5，1＜m-1＜2m-1，
则B={x|m-1＜x＜2m-1}，
∵A∩B≠∅，∴m-1＜5，可得m＜6，
∴m的取值范围（2，6）．（6分）
（2），①当B=∅即 m=-2时，B=∅?A；
②当B≠∅即m≠-2时，
（ⅰ）当m＜-2 时，B=（2m+1，m-1），要B⊆A，
只要 2m+1≥-2，且 m-1≤5，解得-$\frac{3}{2}$≤m≤6，所以m的值不存在；
（ⅱ）当m＞-2 时，B=（m-1，2m+1），要B⊆A，
只要 m-1≥-2，2m+1≤5，解得-1≤m≤2，
综合知m的取值范围是：m=-2或-1≤m≤2． （14分）

点评 本题主要考查集合关系中参数的取值范围问题，体现了分类讨论的数学思想．