Question

设e₁，e₂分别为具有公共焦点F₁与F₂的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一个公共点，且满足

PF1

•

PF2

=0，则 

e12+e12

(e1e2)2

的值为（　　）

• A、1
• B、

  1

  2

• C、4
• D、2

Answer 1

考点：双曲线的简单性质,平面向量数量积的运算,椭圆的简单性质

专题：计算题,平面向量及应用,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设椭圆的长半轴是a₁，双曲线的实半轴是a₂，它们的半焦距是c，并设PF₁=m，PF₂=n，m＞n，根据椭圆的和双曲线的定义可得m+n=2a₁，m-n=2a₂，写出两个曲线的离心率，由向量垂直的条件，运用勾股定理可得等式，代入要求的式子得到结果．

解答： 解：设椭圆的长半轴是a₁，双曲线的实半轴是a₂，它们的半焦距是c，
并设PF₁=m，PF₂=n，m＞n，根据椭圆的和双曲线的定义可得
m+n=2a₁，m-n=2a₂
解得m=a₁+a₂，n=a₁-a₂
又PF₁⊥PF₂，由勾股定理得，
PF₁²+PF₂²=F₁F₂²
即（a₁+a₂）²+（a₁-a₂）²=（2c）²
化简可得a₁²+a₂²=2c²
则

e12+e12

(e1e2)2

=

1

e12

+

1

e22

=

a12

c2

+

a22

c2

=2．
故选D．

点评：本题考查圆锥曲线的共同特征，本题解题的关键是得到两个曲线的参数之间的关系，本题是一个基础题．