Question

已知曲线C：

x=1+2cosθ y=2sinθ

（θ为参数）和直线l：kx-y-k+1=0（k∈R）．
（1）求证：直线l与曲线C有两个不同的交点；
（2）直线l与曲线C交于A、B两点，当弦AB的长最小时，求实数k的值．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（1）首先，将给定的圆的参数方程化为普通方程，然后，将给定的直线过定点（1，1），说明该点在圆内即可；
（2）根据题意，得到直线l与曲线C交于A、B两点，当弦AB的长最小时，此时AB⊥PC，然后，根据斜率关系求解．

解答： 解：（1）由曲线C：

x=1+2cosθ y=2sinθ

（θ为参数），得
（x-1）²+y²=4，圆心为C（1，0），
∵直线l：kx-y-k+1=0（k∈R）．
∴k（x-1）-y+1=0，
∴直线过定点P（1，1），
∵（1-1）²+1²=1＜4，
∴点（1，1）在圆内，
∴直线l与曲线C有两个不同的交点．
（2）直线l与曲线C交于A、B两点，当弦AB的长最小时，
此时AB⊥PC，
∵直线PC的斜率不存在，故直线AB的斜率为0，
故k=0，

点评：本题重点考查了直线过定点问题、圆的参数方程等知识，属于中档题．