Question

随着教育制度和高考考试制度的改革，高校选拔人才的方式越来越多，某高校向一基地学校投放了一个保送生名额，先由该基地学校初选出10名优秀学生，然后参与高校设置的考核，考核设置了难度不同的甲、乙两个方案，每个方案都有M（文化）、N（面试）两个考核内容，最终选择考核成绩总分第一名的同学定为该高校在基地学校的保送生，假设每位同学完成每个方案中的M、N两个考核内容的得分是相互独立的，根据考核前的估计，某同学完成甲方案和乙方案的M、N两个考核内容的情况如表：
表1：甲方案

考核内容	M（文化）		N（面试）
得分	100	80	50	20
概率	3 4	1 4	2 3	1 3

表2：乙方案

考核内容	M（文化）		N（面试）
得分	90	60	30	10
概率	9 10	1 10	3 4	1 4

已知该同学最后一个参与考核，之前的9位同学的最高得分为125分．
（1）若该同学希望获得保送资格，应该选择哪个方案？请说明理由，并求其在该方案下获得保送资格的概率；
（2）若该同学选用乙方案，求其所得成绩X的分布列及其数学期望EX．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,离散型随机变量及其分布列

专题：概率与统计

分析：（1）若该同学希望获得保送资格，应该选择甲方案．这是因为选择甲方程最高得分为150分＞125分，可能获得第一名即保送资格．而选择乙方案，最高得分为120分＜125分，不可能获得第一名即保送资格．记“该同学完成考核M得100分”为事件A，“该同学完成考核N得50分”为事件B，则P（A）=

3

4

，P（B）=

3

4

，由此能求出在该方案下获得保送资格的概率．
（2）若该同学选择乙方案，则X的可能取值为120，100，90，70，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和期望．

解答： 解：（1）若该同学希望获得保送资格，应该选择甲方案．
理由如下：
选择甲方程最高得分为：100+50=150分＞125分，
可能获得第一名即保送资格．
而选择乙方案，最高得分为：90+30=120分＜125分，
不可能获得第一名即保送资格．
记“该同学完成考核M得100分”为事件A，“该同学完成考核N得50分”为事件B，
则P（A）=

3

4

，P（B）=

3

4

，
记“该同学获得保送资格”为事件C，
则P（C）=P（AB）+P（

.

A

B）
=

3

4

×

3

4

+

1

4

×

3

4

=

3

4

，
∴在该方案下获得保送资格的概率为

3

4

．
（2）若该同学选择乙方案，则X的可能取值为120，100，90，70，
则P（X=120）=

9

10

×

9

10

=

81

100

，
P（X=100）=

9

10

×

1

10

=

9

100

，
P（X=90）=

1

10

×

9

10

=

9

100

，
P（X=70）=

1

10

×

1

10

=

1

100

，
∴X的分布列为：

X	120	100	90	70
P	81 100	9 100	9 100	1 100

EX=120×

81

100

+100×

9

100

+90×

9

100

+70×

1

100

=115．

点评：本题考查概率的求法及应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型．