Question

已知正项等比数列{a_n}满足a₁a₃a₅=512，S₃=14
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）已知数列{a_n•log₂a_n}，求数列的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；
（2）a_n•log₂a_n=n•2ⁿ，利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．

解答： 解：（1）设正项等比数列{a_n}的公比为q＞0，
∵a₁a₃a₅=512，S₃=14，
∴

a

3 1

q6=512，a1+a1q+a1q2=14，
解得q=2，a₁=2．
∴an=2n．
（2）a_n•log₂a_n=n•2ⁿ，
∴此数列的前n项和S_n=2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，
∴2S_n=2×2+2×3³+3×2⁴+…+（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹，
∴-S_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=

2(2n-1)

2-1

-n•2ⁿ⁺¹=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，
∴S_n=（n-1）×2ⁿ⁺¹+2．

点评：本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．