Question

已知数列{a_n}前n项和为S_n，且a₁=1，a_n+1=

1

2

S_n（n=1，2，3，…）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）当b_n=log 

3

2

（3a_n+1）时，求证：数列{

1

bnbn+1

}的前n项和T_n=

n

1+n

．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用递推式、等比数列的定义及其通项公式即可得出；
（2）b_n=log

3

2

(

3

2

)n=n，可得

1

bnbn+1

=

1

n

-

1

n+1

．再利用“裂项求和”即可得出．

解答： （1）解：∵a_n+1=

1

2

S_n，∴当n≥2时，an=

1

2

Sn-1，∴a_n+1-a_n=

1

2

an，即an+1=

3

2

an．
当n=1时，a2=

1

2

a1，a₁=1，∴

a2

a1

=

1

2

≠

3

2

，
因此当n≥2时，数列{a_n}是等比数列，首项为

1

2

，公比为

3

2

，
∴an=

1

2

×(

3

2

)n-2，
∴an=

1，n=1 1 2 ×( 3 2 )n-2，n≥2

．
（2）证明：b_n=log

3

2

（3a_n+1）=log

3

2

(

3

2

)n=n，
∴

1

bnbn+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．
∴数列{

1

bnbn+1

}的前n项和T_n=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)=1-

1

n+1

=

n

1+n

．
∴数列{

1

bnbn+1

}的前n项和T_n=

n

1+n

．

点评：本题考查了递推式的应用、等比数列的定义通项公式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．