Question

已知抛物线y²=8x的准线与双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）相交于A、B两点，双曲线的一条渐近线方程是y=

4 3

3

x，点F是抛物线的焦点，且△FAB是等边三角形，则该双曲线的标准方程是（　　）

• A、

  x2

  36

  -

  y2

  6

  =1
• B、

  x2

  16

  -

  y2

  3

  =1
• C、

  x2

  6

  -

  y2

  32

  =1
• D、

  x2

  3

  -

  y2

  16

  =1

Answer 1

考点：双曲线的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由题意已知抛物线y²=8x的准线与双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1相交于A，B两点，点F是抛物线的焦点，且△FAB是等边三角形，由圆锥曲线的对称性和等边三角形的性质可求得A，B的坐标分别为（-2，±

4 3

3

），将此点代入双曲线方程，得a，b的一个方程，再由渐近线方程，又得a，b的一个方程，联立即可求得a，b的值，即可得到双曲线的标准方程．

解答： 解：由题意可得抛物线y²=8x的准线为x=-2，焦点坐标是（2，0），
又抛物线y²=8x的准线与双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1相交于A，B两点，又△FAB是等边三角形，
则有A，B两点关于x轴对称，横坐标是-2，纵坐标是4tan30°与-4tan30°，
将坐标（-2，±

4 3

3

）代入双曲线方程得

4

a2

-

16

3b2

=1，①
又双曲线的一条渐近线方程是y=

4 3

3

x，得

b

a

=

4 3

3

，②
由①②解得a=

3

，b=4．
所以双曲线的方程是

x2

3

-

y2

16

=1．
故选D．

点评：本题考查圆锥曲线的综合，解题的关键是根据两个圆锥曲线本身的对称性及抛物线y²=8x的性质求出A，B的坐标，得到关于参数a，b的方程，做题时一定要注意从图形上挖掘出有价值的线索来．