Question

已知sinα、sinβ是方程x²-（

2

cos20°）x+cos²20°-

1

2

=0的两根，其中α、β都是锐角，且α＞β，求α、β的度数．

Answer 1

考点：同角三角函数基本关系的运用

专题：三角函数的求值

分析：根据题意利用韦达定理列出两个关系式，分别记作①，②，把①两边平方，利用同角三角函数间基本关系化简，将②代入得到sin²α+sin²β=1，根据题意确定出α与β的度数即可．

解答： 解：∵sinα、sinβ是方程x²-（

2

cos20°）x+cos²20°-

1

2

=0的两根，
∴sinα+sinβ=

2

cos20°①，sinαsinβ=cos²20°-

1

2

②，
把①两边平方得：（sinα+sinβ）²=sin²α+sin²β+2sinαsinβ=2cos²20°，
将②代入得：sin²α+sin²β+2cos²20°-1=2cos²20°，即sin²α+sin²β=1，
∵α、β都是锐角，且α＞β，
∴α+β=90°，α＞β都可以成立，例如α=75°，β=15°．

点评：此题考查了同角三角函数间基本关系的运用，以及韦达定理，熟练掌握基本关系是解本题的关键．