Question

已知函数f（x）=-3x²-3x+4b²+

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4

（b＞0），x∈[-b，1-b]，f（x）_max=25，求b的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值

专题：函数的性质及应用

分析：根据f（x）图象的对称轴方程为x=-

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2

，x∈[-b，1-b]，分类讨论求得f（x）_max的结果，综合可得结论．

解答： 解：由于函数f（x）=-3x²-3x+4b²+

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=-3(x+

1

2

)2+4b²+1（b＞0）的图象的对称轴方程为x=-

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，
x∈[-b，1-b]，
当-b＞-

1

2

，即0＜b＜

1

2

时，函数f（x）在[-b，1-b]上单调递减，
函数的最大值为f（x）_max=f（-b）=b²+3b+

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．
当-b≤-

1

2

，即b＞

1

2

时，f（x）在[-b，-

1

2

上单调递增，f（x）在[-

1

2

，1-b]上单调递减，
函数的最大值为f（x）_max=f（-

1

2

）=4b²+1．
综上可得，f（x）_max=

b2+3b+ 1 4 ，0＜b＜ 1 2 4b2+1，b＞ 1 2

．

点评：本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．