Question

已知四棱锥的底面是平行四边形，,，面，且.若为中点，为线段上的点，且.

（1）求证：平面；
（2）求PC与平面PAD所成角的正弦值.

Answer 1

(1)证明过程详见解析(2)

解析试题分析：
(1)本文利用面面垂直来证明线面垂直,即连接BD交AC于点O，取中点，连接、、.利用分别为的中位线,说明它们对应平行,进而得到面与面平行,再根据面面平行的性质得到线面平行.
(2)要求线面角,需要找到线面角的代表角,即过C点做面PAD的垂线,因为PA垂直于底面,所以过C作线段AD的垂线与AD交于H,则CH垂直于面PAD,所以角CPH即为线面角的代表角,要求该角的正弦值,就需要求出PC与CH,可以利用三角形PAC和三角形ACH为直角三角形通过勾股定理求的.进而得到线面角的正弦值.
试题解析：
（1）证明：连接BD交AC于点O，
取中点，连接、、.
因为、分别是、的中点，
所以，    3分
因为、分别是、的中点，
所以，     6分
所以，平面平面.
又因为平面，
故，平面.    9分

（2）因为，，所以.
过C作AD的垂线，垂足为H，则，，所以平面PAD.
故为PC与平面PAD所成的角.                12分
设，则，，，
所以，即为所求.                   15分
考点：面面平行 线面平行 线面夹角 勾股定理