Question

若函数y=xlnx-ax²有两个极值点，则实数a的范围是

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：综合题,导数的概念及应用

分析：先求导函数，函数f（x）=x（lnx-ax）有两个极值点，等价于f′（x）=lnx-2ax+1有两个零点，等价于函数y=lnx与y=2ax-1的图象由两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象．由图可求得实数a的取值范围．

解答： 解：由题意，y′=lnx+1-2ax
令f′（x）=lnx-2ax+1=0得lnx=2ax-1，
函数y=xlnx-ax²有两个极值点，等价于f′（x）=lnx-2ax+1有两个零点，
等价于函数y=lnx与y=2ax-1的图象有两个交点，
在同一个坐标系中作出它们的图象（如图）
当a=

1

2

时，直线y=2ax-1与y=lnx的图象相切，
由图可知，当0＜a＜

1

2

时，y=lnx与y=2ax-1的图象有两个交点．
则实数a的取值范围是(0，

1

2

)．
故答案为：(0，

1

2

)．

点评：本题主要考查函数的零点以及数形结合方法，数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷．