Question

已知f（x）=cos⁴x-2sinx•cosx-sin⁴x
（1）求f（x）的图象的对称轴；
（2）当x∈[0，

π

2

]时，求f（x）的值域．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的求值

分析：（1）由三角函数公式化简可得f（x）=

2

cos（2x+

π

4

），令2x+

π

4

=kπ解x可得对称轴；
（2）由x的范围可得2x+

π

4

的范围，进而可得所求．

解答： 解：（1）化简可得f（x）=cos⁴x-2sinx•cosx-sin⁴x
=cos⁴x-sin⁴x-2sinx•cosx
=（cos²x+sin²x）（cos²x-sin²x）-2sinx•cosx
=cos²x-sin²x-2sinx•cosx
=cos2x-sin2x=

2

cos（2x+

π

4

），
令2x+

π

4

=kπ可得x=

kπ

2

-

π

8

，
∴f（x）的图象的对称轴为x=

kπ

2

-

π

8

，k∈Z；
（2）∵x∈[0，

π

2

]，∴2x+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]，
∴cos（2x+

π

4

）∈[-1，

2

2

]
∴f（x）=

2

cos（2x+

π

4

）∈[-

2

，1]
∴f（x）的值域为：[-

2

，1]

点评：本题考查三角函数的化简，涉及三角函数的对称性和值域，属基础题．