Question

设函数f（x）=|x-1|+|2x-a|，a∈R．
（Ⅰ）当a=4时，求不等式f（x）≥5的解集；
（Ⅱ）若f（x）≥4对x∈R恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式

分析：对第（1）问，将a的值代入f（x）中，令|x-1|=0，|2x-4|=0，将数轴分三段讨论即可得解集；
对第（2）问，根据函数f（x）=|x-1|+|2x-a|的图象特征，左边一段递减，右边一段递增，中间一段单调，且图象连续，图象的最低点必在转折处，由此知，函数f（x）的最小值为f（1）或f（

a

2

），只需f（x）_min≥4即可．

解答： 解：（Ⅰ）a=4时，f（x）=|x-1|+|2x-4|，
令|x-1|=0，得x=1；令|2x-4|=0，得x=2．
①当x≤1时，由f（x）=-（x-1）-（2x-4）=-3x+5≥5得x≤0，
∴x≤0．
②当1＜x＜2时，由f（x）=（x-1）-（2x-4）=-x+3≥5，得x≤-2，
∴原不等式无实数解．
③当x≥2时，由f（x）=（x-1）+（2x-4）=3x-5≥5，得x≥

10

3

，
∴x≥

10

3

．
综合①、②、③知，不等式f（x）≥5的解集为{x|x≤0，或x≥

10

3

}．
（Ⅱ）x=1时，f（x）=|2-a|；x=

a

2

时，f（x）=|

a

2

-1|．作出f（x）的图象，如右图所示，
要使f（x）≥4对x∈R恒成立，则

|2-a|≥4 | a 2 -1|≥4

，得

a≥6，或a≤-2 a≥10，或a≤-6

得a≥10或a≤-6，故a的取值范围是[10，+∞）∪（-∞，-6]．

点评：本题考查了含两个绝对值符号的不等式的解法，及含参数的绝对值不等式恒成立问题，常规方法是利用零点分段法及函数的图象求解，体现了分类讨论的思想，数型结合思想等．其关键是找到“零点”或图象的“转折点”．