Question

已知|

a

|=4，|

b

|=2，且

a

与

b

夹角为120°求：
（Ⅰ）（

a

+3

b

）•（

a

-3

b

）；
（Ⅱ）

a

与

a

+

b

的夹角θ．

Answer 1

考点：数量积表示两个向量的夹角,平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：（Ⅰ）（

a

+3

b

）•（

a

-3

b

）=

a

2-9

b

2，代入已知数据计算可得；（Ⅱ）由已知数据可得

a

•（

a

+

b

）和|

a

+

b

|的值，而cosθ=

a •( a + b )

| a || a + b |

，代入计算可得．

解答： 解：（Ⅰ）∵|

a

|=4，|

b

|=2，且

a

与

b

夹角为120°，
∴（

a

+3

b

）•（

a

-3

b

）=

a

2-9

b

2
=4²-9×2²=-20；
（Ⅱ）：|

a

|=4，|

b

|=2，且

a

与

b

夹角为120°，
∴

a

•（

a

+

b

）=

a

2+

a

•

b

=16+4×2×（-

1

2

）=12，
|

a

+

b

|=

( a + b )2

=

a 2+ a • b + b 2

=

16+4×2×(- 1 2 )+4

=4
∴cosθ=

a •( a + b )

| a || a + b |

=

12

4×4

=

3

4

∴

a

与

a

+

b

的夹角θ=arccos

3

4

点评：本题考查平面向量的数量积的运算，涉及模长公式和夹角公式，属基础题．