Question

已知f（x）=log_ax-x+1，（a＞0，且a≠1），如f（x）≤0对x∈（0，+∞）恒成立，则a的取值集合为

 

．

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质

专题：函数的性质及应用

分析：若f（x）≤0对x∈（0，+∞）恒成立，即log_ax≤x-1对x∈（0，+∞）恒成立，即函数y=log_ax的图象不会在y=x-1上方，分0＜a＜1时和a＞1时，讨论满足条件的a值，综合讨论结果，可得答案．

解答： 解：∵f（x）=log_ax-x+1，
若f（x）≤0对x∈（0，+∞）恒成立，
即log_ax≤x-1对x∈（0，+∞）恒成立，
即函数y=log_ax的图象不会在y=x-1上方，
当0＜a＜1时，函数y=log_ax与y=x-1的图象如下图所示：

不满足要求：
当a＞1时，函数y=log_ax与y=x-1的图象如下图所示：

若要满足条件，则函数y=log_ax与y=x-1切于（1，0）点，
即y′|_x=1=

logae

x

=log_ae=1，
解得：a=e，
综上所述：a的取值集合为：{e}，
故答案为：{e}

点评：本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，其中将已知中f（x）≤0对x∈（0，+∞）恒成立，转化为函数y=log_ax的图象不会在y=x-1上方，是解答的关键．