Question

19．通过市场调查，得到某种产品的资金投入x万元与获得的利润y万元的数据，如表所示：

资金投入x	2	3	4	5	6
利润y	2	3	5	6	9

（1）根据上表提供的数据，用最小二乘法求线性回归方程；
（2）现投入资金10万元，求获得利润的估计值为多少万元？
（参考公式：$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_1}}-n\bar x\bar y}}{{\sum_{i=1}^n{{x_i}^2}-n{{\bar x}^2}}}$，$\hat a=\bar y-\hat b\bar x$）

Answer 1

分析 （1）根据上表提供的数据，求出样本中心坐标，以及$\hat{b}$，代入回归直线方程求出$\hat{a}$，即可求线性回归方程；
（2）现投入资金10万元，利用回归直线方程，直接求获得利润的估计值．

解答 解：（1）$\overline{x}=\frac{2+3+4+5+6}{5}=4$，…2'
$\overline{y}=\frac{2+3+5+6+9}{5}=5$．…4'
$\widehat{b}=\frac{\sum _{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum _{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$=$\frac{2×2+3×3+4×5+5×6+6×9-5×4×5}{4+9+16+25+36-5×16}$=1.7，…6'，
$\hat a=\bar y-\hat b\overline{x}=5-1.7×4=-1.8$，
所以回归直线方程为：$\hat y=1.7x-1.8$．…8'
（2）当x=10万元时，$\hat{y}=1.7×10-1.8=15.2$万元．…10'

点评 本题考查用最小二乘法求线性回归方程，以及回归直线方程的应用，考查计算能力．