Question

20．已知P（x_p，5）是双曲线Γ：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$（a＞0，b＞0）上的一点，F₁，F₂分别是双曲线的左，右焦点，若|PF₁|•|PF₂|=$\frac{9}{4}$ac，△PF₁F₂的内切圆的面积为4π，则双曲线Γ的渐近线方程为（　　）

• A． y=$±\sqrt{2}$x
• B． y=±$\frac{\sqrt{7}}{3}$x
• C． y=±$\frac{4}{3}$x
• D． y=±$\sqrt{6}$x

Answer 1

分析 设|PF₁|=m，|PF₂|=n（m＞n），则$\frac{1}{2}×2c×5$=$\frac{1}{2}×（m+n+2c）×2$，结合双曲线的定义，求出m，n，再利用|PF₁|•|PF₂|=$\frac{9}{4}$ac，求出e，即可得出结论．

解答 解：设|PF₁|=m，|PF₂|=n（m＞n），则$\frac{1}{2}×2c×5$=$\frac{1}{2}×（m+n+2c）×2$，
∴m+n=3c，
∵m-n=2a，
∴m=$\frac{3}{2}$c+a，n=$\frac{3}{2}$c-a，
∵|PF₁|•|PF₂|=$\frac{9}{4}$ac，
∴（$\frac{3}{2}$c+a）•（$\frac{3}{2}$c-a）=$\frac{9}{4}$ac，
∴$\frac{9}{4}$e²-$\frac{9}{4}$e-1=0，
∴e=$\frac{4}{3}$，
∴$\frac{b}{a}$=$\frac{\sqrt{7}}{3}$．
∴双曲线Γ的渐近线方程为y=±$\frac{\sqrt{7}}{3}$x．
故选：B．

点评 本题考查双曲线的方程与性质，考查双曲线的定义，考查学生的计算能力，属于中档题．