Question

14．设n是一个正整数，则函数x+$\frac{1}{n{x}^{n}}$在正半实轴上的最小值是（　　）

• A． $\frac{n-1}{n}$
• B． $\frac{n+2}{n+1}$
• C． $\frac{n+1}{n}$
• D． $\frac{n}{n+1}$

Answer 1

分析 变形利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：∵x＞0，
∴函数x+$\frac{1}{n{x}^{n}}$=$\frac{x}{n}$+$\frac{x}{n}$+…+$\frac{x}{n}$+$\frac{1}{n{x}^{n}}$≥（n+1）×$\root{n+1}{\frac{x}{n}•\frac{x}{n}•…•\frac{x}{n}•\frac{1}{n{x}^{n}}}$=$\frac{n+1}{n}$，当且仅当x=1时取等号．
∴函数x+$\frac{1}{n{x}^{n}}$在正半实轴上的最小值是$\frac{n+1}{n}$．
故选：C．

点评 本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．