Question

4．函数f（x）=[x]-x（函数y=[x]的函数值表示不超过x的最大整数，如（[-3.6]=-4，[2.1]=2），设函数g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x）+lgx（x＞0）}\\{f（x）-sinx（-2π＜x＜0）}\end{array}\right.$，则函数y=g（x）的零点的个数为（　　）

• A． 11
• B． 10
• C． 12
• D． 13

Answer 1

分析 分类讨论：①当x＞0时，f（x）=[x]-x，当0＜x＜1时，f（x）=-x；当1≤x＜2时，f（x）=1-x；…，当10≤x＜11时，f（x）=10-x；…，当11≤x＜12时，f（x）=11-x；…．函数y=-lgx，（x＞0）．利用对数函数的单调性即可得出零点个数．
②当x＜0时，f（x）=[x]-x，当-1≤x＜0时，f（x）=-1-x；…，当-6≤x＜-5时，f（x）=-6-x；当-2π＜x＜-6时，f（x）=-7-x．函数y=sinx，（x＞0）．如图所示，即可得出函数零点个数．

解答 解：①当x＞0时，f（x）=[x]-x，当0＜x＜1时，f（x）=-x；
当1≤x＜2时，f（x）=1-x；…，当10≤x＜11时，f（x）=10-x；…，
当11≤x＜12时，f（x）=11-x；…函数y=-lgx，（x＞0）．
因此；当0＜x＜1时，-lgx＞0，
此时函数g（x）无零点；当1≤x≤10时，
0≥-lgx≥-1，此时函数g（x）有9个零点
当10＜x时，-lgx＜-1，
此时函数g（x）无零点．
②当x＜0时，f（x）=[x]-x，
当-1≤x＜0时，f（x）=-1-x；
当-2≤x＜-1时，f（x）=-2-x；…，
当-6≤x＜-5时，f（x）=-6-x；当-2π＜x＜-6时，f（x）=-7-x．
函数y=sinx，（x＞0）．如图所示：此时函数g（x）有3个零点．
综上可得：函数g（x）共有12个零点．
故选：C．

点评 本题考查了函数的零点、函数的图象与性质，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于难题．