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已知关于x的不等式ex|x-a|≥x在x∈R上恒成立,则实数a的取值范围为______.
∵ex|x-a|≥x,
∴|x-a|≥
x
ex

∴x-a≤-
x
ex
或x-a≥
x
ex

∴a≥x+
x
ex
或a≤x-
x
ex

∵关于x的不等式ex|x-a|≥x在x∈R上恒成立,
∴a≥x+
x
ex
或a≤x-
x
ex
在x∈R上恒成立,
令f(x)=x+
x
ex
,g(x)=x-
x
ex

∴a≥x+
x
ex
或a≤x-
x
ex
在x∈R上恒成立,
转化为a≥f(x)max①,或a≤g(x)min②,
下面求解①:
∵f(x)=x+
x
ex

∴f′(x)=1+
(1-x)ex
(ex)2
=
ex-x+1
ex

令h(x)=ex-x+1,则h′(x)=ex-1=0,解得x=0,
当x<0时,h′(x)<0,当x>0时,h′(x)>0,
∴h(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,
∴h(x)的最小值为h(0)=2,
∴h(x)>0对x∈R恒成立,
∴f′(x)=
ex-x+1
ex
>0对x∈R恒成立,
∴f(x)在R上为单调递增函数,
故f(x)无最大值,
∴a无解;
下面求解②:
∵g(x)=x-
x
ex

∴g′(x)=1-
(1-x)ex
(ex)2
=
ex+x-1
ex

令m(x)=ex+x-1,则m′(x)=ex+1>0对x∈R恒成立,
∴m(x)在R上为单调递增函数,
又m(0)=0,
∴当x<0时,m(x)<0,即g′(x)<0,
当x>0时,m(x)>0,即g′(x)>0,
∴g(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,
∴当x=0时,g(x)取得最小值g(x)min=0,
∴a≤0.
综合①②,实数a的取值范围为a≤0.
练习册系列答案
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1
2
<x<
1
3
},若f(x)=qx2+px+1
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(2)若f(x)
a
6
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x-1

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x+1
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m
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2
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3
2
,1)
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