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已知函数f(x)=ln
x+1
x-1

(1)求函数f(x)的定义域,并判断函数f(x)的奇偶性;
(2)对于x∈[2,6],f(x)=ln
x+1
x-1
>ln
m
(x-1)(7-x)
恒成立,求实数m取值范围.
(1)由
x+1
x-1
>0
,解得x<-1或x>1,∴定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞)(2分)
当x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)时,f(-x)=ln
-x+1
-x-1
=ln
x-1
x+1
=ln(
x+1
x-1
)-1=-ln
x+1
x-1
=-f(x)

f(x)=ln
x+1
x-1
是奇函数.….(5分)
(2)由x∈[2,6]时,f(x)=ln
x+1
x-1
>ln
m
(x-1)(7-x)
恒成立,
x+1
x-1
m
(x-1)(7-x)
>0

∵x∈[2,6],∴0<m<(x+1)(7-x)在x∈[2,6]成立…(8分)
令g(x)=(x+1)(7-x)=-(x-3)2+16,x∈[2,6],
由二次函数的性质可知x∈[2,3]时函数单调递增,x∈[3,6]时函数单调递减,
∴x∈[2,6]时,g(x)min=g(6)=7
∴0<m<7….(12分)
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

下列判断正确的是(   )
A.函数是奇函数B.函数是偶函数
C.函数是非奇非偶函数D.函数既是奇函数又是偶函数

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

对于任意的x∈R,不等式2x2-a
x2+1
+3>0
恒成立,则实数a的取值范围是(  )
A.a<2
2
B.a≤2
2
C.a<3D.a≤3

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已知f(x)=x2+ax+3
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b2
4
+1
,且f(c)-f(b)≤M(c2-b2)恒成立,则M的最小值为______.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

如果一个函数f(x)满足:
(1)定义域为R;
(2)任意x1,x2∈R,若x1+x2=0,则f(x1)+f(x2)=0;
(3)任意x∈R,若t>0,f(x+t)>f(x).
则f(x)可以是(  )
A.y=-xB.y=3xC.y=x3D.y=log3x

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知函数f(x)=x2-2,g(x)=xlnx,,
(1)若对一切x∈(0,+∞),2g(x)≥ax-5-f(x)恒成立,求实数a的取值范围;
(2)试判断方程ln(1+x2)-
1
2
f(x)-k=0
有几个实根.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

已知关于x的不等式ex|x-a|≥x在x∈R上恒成立,则实数a的取值范围为______.

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偶函数f(x)在(-∞,0)上是增函数,问它在(0,+∞)是增函数还是减函数?能否用函数单调性的定义证明你的结论?

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