Question

为抗击金融风暴，某系统决定对所属企业给予低息贷款的扶持，该系统制定了评分标准，并根据标准对企业进行评估，然后依据评估得分将这些企业分别定为优秀、良好、合格、不合格四个等级，并根据等级分配相应的低息贷款数额，为了更好地掌握贷款总额，该系统随机抽查了所属的部分企业.一下图表给出了有关数据（将频率看做概率）
（1）任抽一家所属企业，求抽到的企业等级是优秀或良好的概率；
（2）对照标准，企业进行了整改.整改后，如果优秀企业数量不变，不合格企业、合格企业、良好企业的数量成等差数列.要使所属企业获得贷款的平均值（即数学期望）不低于410万元，那么整改后不合格企业占企业总数百分比的最大值是多少？

Answer 1

（1）0.45.（2）

（Ⅰ）设任意抽取一家企业，抽到良好企业、优秀企业的概率分别是,所以抽到的企业是优秀或良好企业的概率为0.2+0.25=0.45.
（Ⅱ）整改后优秀企业的频率为0.25，由不合格企业，合格企业，良好企业的频率成等差数列．设该等差数列的首项为a，公差为d，则3a+3d=1-0.25=0.75，即a+d=0.25，设整改后一家企业获得的低息贷款为,然后列出分布列，求出的数学期望，再由可得到关于a的不等式从而求出a的取值范围．
解：（1）设任意抽取一家企业，抽到不合格企业、合格企业、良好企业、优秀企业的概率分别是p_1、p_2、p_3、p₄
则根据频率分布直方图可知：


(2) 设整改后，任意抽取一家企业，抽到不合格企业、合格企业、良好企业的概率分别为
,


   …………13分