【题目】设不等式﹣2<|x﹣1|﹣|x+2|<0的解集为M,a、b∈M,
(1)证明:| a+
b|<
;
(2)比较|1﹣4ab|与2|a﹣b|的大小,并说明理由.
【答案】
(1)证明:记f(x)=|x﹣1|﹣|x+2|= ,
由﹣2<﹣2x﹣1<0解得﹣ <x<
,则M=(﹣
,
).
∵a、b∈M,∴ ,
所以| a+
b|≤
|a|+
|b|<
×
+
×
=
(2)解:由(1)得a2< ,b2<
.
因为|1﹣4ab|2﹣4|a﹣b|2=(1﹣8ab+16a2b2)﹣4(a2﹣2ab+b2)
=(4a2﹣1)(4b2﹣1)>0,
所以|1﹣4ab|2>4|a﹣b|2,故|1﹣4ab|>2|a﹣b|.
【解析】(1)利用绝对值不等式的解法求出集合M,利用绝对值三角不等式直接证明:| a+
b|<
;(2)利用(1)的结果,说明ab的范围,比较|1﹣4ab|与2|a﹣b|两个数的平方差的大小,即可得到结果.
【考点精析】解答此题的关键在于理解绝对值不等式的解法的相关知识,掌握含绝对值不等式的解法:定义法、平方法、同解变形法,其同解定理有;规律:关键是去掉绝对值的符号,以及对不等式的证明的理解,了解不等式证明的几种常用方法:常用方法有:比较法(作差,作商法)、综合法、分析法;其它方法有:换元法、反证法、放缩法、构造法,函数单调性法,数学归纳法等.
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【题目】(本小题满分12分) 某校为了解高一期末数学考试的情况,从高一的所有学生数学试卷中随机抽取份试卷进行成绩分析,得到数学成绩频率分布直方图(如图所示),其中成绩在
,
的学生人数为6.
(Ⅰ)求直方图中的值;
(Ⅱ)试估计所抽取的数学成绩的平均数;
(Ⅲ)试根据样本估计“该校高一学生期末数学考试成绩”的概率.
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【题目】已知A、F分别是椭圆C: +
=1(a>b>0)的左顶点、右焦点,点P为椭圆C上一动点,当PF⊥x轴时,AF=2PF.
(1)求椭圆C的离心率;
(2)若椭圆C存在点Q,使得四边形AOPQ是平行四边形(点P在第一象限),求直线AP与OQ的斜率之积;
(3)记圆O:x2+y2= 为椭圆C的“关联圆”.若b=
,过点P作椭圆C的“关联圆”的两条切线,切点为M、N,直线MN的横、纵截距分别为m、n,求证:
+
为定值.
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【题目】若命题“x0∈R,使得x02+mx0+2m﹣3<0”为假命题,则实数m的取值范围是( )
A.[2,6]
B.[﹣6,﹣2]
C.(2,6)
D.(﹣6,﹣2)
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【题目】已知一元二次函数的最大值为,其图象的对称轴为
,且与
轴两个交点的横坐标的平方和为
.
(1)求该一元二次函数;
(2)要将该函数图象的顶点平移到原点,请说出平移的方式.
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【题目】如图,在△ABC中,DC⊥AB于D,BE⊥AC于E,BE交DC于点F,若BF=FC=3,DF=FE=2.
(1)求证:ADAB=AEAC;
(2)求线段BC的长度.
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【题目】如图,在三棱锥中,平面
平面
,
,
,
,
分别为线段
上的点,且
,
,
.
(1)求证: 平面
;
(2)若与平面
所成的角为
,求平面
与平面
所成的锐二面角.
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【题目】二项式的展开式中只有第6项的二项式系数最大,且展开式中的第3项的系数是第4项的系数的3倍,则
的值为( )
A. 4 B. 8 C. 12 D. 16
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