Question

2．已知定义域为R的奇函数y=f（x）的导函数为y=f′（x），当x≠0时，f′（x）+$\frac{f（x）}{x}$＞0，若a=$\frac{1}{3}f（\frac{1}{3}）$，b=-3f（-3），c=$（ln\frac{1}{3}）$$f（ln\frac{1}{3}）$，则a，b，c的大小关系正确的是（　　）

• A． a＜b＜c
• B． a＜c＜b
• C． b＜c＜a
• D． c＜a＜b

Answer 1

分析 根据式子得出F（x）=xf（x）为R上的偶函数，利用f′（x）+$\frac{f（x）}{x}$＞0．当x＞0时，x•f′（x）+f（x）＞0；当x＜0时，x•f′（x）+f（x）＜0，判断单调性即可证明a，b，c 的大小．

解答 解：定义域为R的奇函数y=f（x），
设F（x）=xf（x），
∴F（x）为R上的偶函数，
∴F′（x）=f（x）+xf′（x）
∵当x≠0时，f′（x）+$\frac{f（x）}{x}$＞0．
∴当x＞0时，x•f′（x）+f（x）＞0，
当x＜0时，x•f′（x）+f（x）＜0，
即F（x）在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）单调递减．
F（$\frac{1}{3}$）=a=$\frac{1}{3}$f（$\frac{1}{3}$）=F（ln$\root{3}{e}$），F（-3）=b=-3f（-3）=F（3），F（ln$\frac{1}{3}$）=c=（ln$\frac{1}{3}$）f（ln$\frac{1}{3}$）=F（ln3），
∵ln$\root{3}{e}$＜ln3＜3，
∴F（ln$\root{3}{e}$）＜F（ln3）＜F（3）．
即a＜c＜b，
故选：B．

点评 本题考查了导数在函数单调性的运用，根据给出的式子，得出需要的函数，运用导数判断即可，属于中档题．