Question

17．已知z为复数，z+3+2i和$\frac{z}{1-2i}$均为实数，其中i是虚数单位．
（Ⅰ）求复数z；
（Ⅱ）若复数（z-mi）²在复平面上对应的点在第二象限，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先设出复数z=a+bi（a，b∈R），又已知z+3+2i和$\frac{z}{1-2i}$均为实数，求出b的值，再由复数代数形式的乘除运算化简$\frac{z}{1-2i}$，即可得到a的值，则复数z可求；
（Ⅱ）把z的值代入（z-mi）²然后化简，又已知复数（z-mi）²在复平面上对应的点在第二象限，列出不等式组，求解即可得到实数m的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）设复数z=a+bi（a，b∈R），
由题意，z+3+2i=（a+3）+（b+2）i∈R，
∴b+2=0，即b=-2．
又$\frac{z}{1-2i}=\frac{（a+bi）（1+2i）}{5}=\frac{a-2b+（2a+b）i}{5}∈R$，
∴2a+b=0，即$a=-\frac{1}{2}b=1$．
∴z=1-2i；
（Ⅱ）（z-mi）²=[1-（m+2）i]²=1-（m+2）²-2（m+2）i，
∵复数（z-mi）²在复平面上对应的点在第二象限．
∴$\left\{{\begin{array}{l}{1-{{（m+2）}^2}＜0}\\{-2（m+2）＞0}\end{array}}\right.$即$\left\{{\begin{array}{l}{m＜-3或m＞-1}\\{m＜-2}\end{array}}\right.$，
∴m＜-3．
∴实数m的取值范围为m＜-3．

点评 本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，考查了复数代数形式的乘除运算，是中档题．