Question

6．已知p，q都是正数，求证：p+q+$\frac{1}{\sqrt{pq}}$≥2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 连续应用两次基本不等式，从而证明不等式．

解答 证明：∵p，q都是正数，
∴p+q≥2$\sqrt{pq}$（当且仅当p=q时，等号成立）；
∴p+q+$\frac{1}{\sqrt{pq}}$≥2$\sqrt{pq}$+$\frac{1}{\sqrt{pq}}$≥2$\sqrt{2}$，
（当且仅当2$\sqrt{pq}$=$\frac{1}{\sqrt{pq}}$，即pq=$\frac{1}{2}$时，等号成立），
∴当p=q=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，p+q+$\frac{1}{\sqrt{pq}}$有最小值2$\sqrt{2}$，
故p+q+$\frac{1}{\sqrt{pq}}$≥2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了基本不等式的证明与应用．