Question

【题目】已知函数

（1）若存在极值点1，求的值；

（2）若存在两个不同的零点，求证：

Answer 1

【答案】(1) ；(2) 见解析.

【解析】

试题（1）由存在极值点为1，得，可解得a.

(2)是典型的极值点偏移问题，先证明,再利用在上的单调性，即可得证.

试题解析：(1) ，因为存在极值点为1，所以，即，经检验符合题意，所以.

(2)

①当时，恒成立，所以在上为增函数，不符合题意；

②当时，由得，

当时，，所以为增函数，

当时，，所为减函数，

所以当时，取得极小值

又因为存在两个不同零点，所以，即

整理得，

作关于直线的对称曲线，

令

所以在上单调递增，

不妨设，则，

即，

又因为且在上为减函数，

故，即，又，易知成立，

故.

点晴：本题主要考查导数在函数中的应用，具体涉及到函数的极值，函数的极值点偏移问题.第一问中存在极值点1，所以，解得;第二问处理极值点问题有两个关键步骤：一是在构造函数证明其大于于0恒成立，二是利用在上为减函数 ，两者结合即可证明结论成立.