Question

【题目】如图，在三棱柱中，、分别为、的中点，，，.

⑴求证：平面；

⑵求二面角的正弦值；

⑶已知为棱上的点，若，求线段的长度.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）（3）

【解析】

（1）证明，，再根据，从而得到线面垂直的证明；

（2）以点为坐标原点，分别以的方向为轴的正方向，利用向量法求得二面角的余弦值，再利用同角三角函数的基本关系求得正弦值；

（3）结合（2）中，求得点，再求的值，从而求得线段的长度.

（1）在三角形中，且为的中点，

所以.①

在中，,.

连接，在中，，

所以.

又，所以，所以.②

又因为，③

由①②③，得平面.

（2）以点为坐标原点，分别以的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，

所以.

设为平面的法向量，

则有即

令，得所以.

易得，且为平面的法向量，

所以，，

所以.

故所求二面角的正弦值为

（3）由（2）知.

设点，则.

又，，

所以，从而

即点.

所以.

所以.