【题目】是否存在实数a,使得函数y=cos2x+asinx+ ﹣
在闭区间[0,π]的最大值是0?若存在,求出对应的a的值;若不存在,试说明理由.
【答案】解:∵y=cos2x+asinx+ ﹣
=﹣sin2x+asinx+
﹣
, 令sinx=t,t∈[0,1],
∴f(t)=﹣t2+at+ ﹣
,对称轴为t=
a,
①当a≤0时,函数f(t)在[0,1]上是减函数,
∴f(t)的最大值是g(a)=f(0)= ﹣
=0,解得a=
,不符合题意,
②当a≥2时,函数f(t)在[0,1]上是增函数,
∴f(x)的最大值是g(a)=f(1)= ﹣
=0,解得a=
,不符合题意,
③当0<a<2时,f(x)在x∈[0,1]的最大值是g( a)=f(
a)=
+
﹣
=0,
解得a=﹣4(舍去),或a= .·
综上,存在a= 时,函数在闭区间[0,π]上的最大值是0
【解析】化简函数f(x),令sinx=t,t∈[0,1],求出f(t)在t∈[0,1]的最大值函数g(a),再令g(a)=0,求对应a的值是否存在即可.
【考点精析】解答此题的关键在于理解三角函数的最值的相关知识,掌握函数,当
时,取得最小值为
;当
时,取得最大值为
,则
,
.
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【题目】已知是圆
上任意一点,点
的坐标为
,直线
分别与线段
交于
两点,且
.
(1)求点的轨迹
的方程;
(2)直线与轨迹
相交于
两点,设
为坐标原点,
,判断
的面积是否为定值?若是,求出定值,若不是,说明理由.
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【题目】已知椭圆上的点到两个焦点的距离之和为
,短轴长为
,直线
与椭圆
交于
、
两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线与圆
相切,探究
是否为定值,如果是定值,请求出该定值;如果不是定值,请说明理由.
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【题目】现如今,“网购”一词不再新鲜,越来越多的人已经接受并喜欢了这种购物方式,但随之也出现了商品质量不能保证与信誉不好等问题,因此,相关管理部门制定了针对商品质量与服务的评价体系,现从评价系统中选出成功交易200例,并对其评价进行统计:对商品的好评率为0.6,对服务的好评率为0.75,其中对商品和服务都做出好评的交易为80次.
(1)依据题中的数据完成下表,并通过计算说明,能否有99.9%的把握认为“商品好评与服务好评”有关;
(2)若将频率视为概率,某人在该购物平台上进行了5次购物,设对商品和服务全好评的次数为随机变量,求
的分布列(概率用算式表示)、数学期望和方差.
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【题目】如下图,三棱柱中,侧面
底面
,
,且
,O为
中点.
(Ⅰ)证明: 平面
;
(Ⅱ)求直线与平面
所成角的正弦;
(Ⅲ)在上是否存在一点
,使得
平面
,若不存在,说明理由;若存在,确定点
的位置.
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【题目】已知椭圆C的方程为+
=1,A、B为椭圆C的左、右顶点,P为椭圆C上不同于A、B的动点,直线x=4与直线PA、PB分别交于M、N两点;若D(7,0),则过D、M、N三点的圆必过x轴上不同于点D的定点,其坐标为________.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
以直角坐标系的原点为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知点
的直角坐标为
,若直线
的极坐标方程为
曲线
的参数方程是
(
为参数).
(1)求直线和曲线
的普通方程;
(2)设直线和曲线
交于
两点,求
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