Question

18．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sinωx•cosωx-cos²ωx（ω＞0）的周期为$\frac{π}{2}$．
（Ⅰ）求ω的值和函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）设△ABC的三边a，b，c满足b²=ac，且边b所对的角为x，求此时函数f（x）的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先化简解析式为f（x）=sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$，再由周期公式求ω的值，令2kπ-$\frac{π}{2}$≤4x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，解之即可得出函数的单调增区间．
（Ⅱ）利用余弦定理求出角x的范围，利用正弦函数的单调性求出函数f（x）的值域．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=$\sqrt{3}$sinωx•cosωx-cos²ωx=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx-$\frac{1+cos2ωx}{2}$=sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$，
∵周期为$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{2π}{2ω}$=$\frac{π}{2}$，解得ω的值为2；
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤4x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，解得$\frac{1}{2}$kπ-$\frac{π}{12}$≤x≤$\frac{1}{2}$kπ+$\frac{π}{6}$，
即函数的单调递增区间为[$\frac{1}{2}$kπ-$\frac{π}{12}$，$\frac{1}{2}$kπ+$\frac{π}{6}$]k∈z．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 f（x）=sin（4x-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$，由题意，得 cosx=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$≥$\frac{2ac-ac}{2ac}$=$\frac{1}{2}$．
又∵0＜x＜π，
∴0＜x≤$\frac{π}{3}$，
∴-$\frac{π}{6}$＜4x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{7π}{6}$，
∴-$\frac{1}{2}$＜sin（4x-$\frac{π}{6}$）≤1，
∴-1＜sin（4x-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$≤1-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，故f（x）的值域为（-1，$\frac{1}{2}$]．

点评 本题考查正弦函数的定义域和值域，余弦定理的应用，两角差的正弦公式的应用，化简f（x）的解析式，是解题的突破口，属于中档题．