Question

14．某建筑工地在一块唱AM=30米，宽AN=20米的矩形地块AMPN上施工，规划建设占地如图中矩形ABCD的学生公寓，要求顶点C在地块的对角线MN上，B，D分别在边AM，AN上，假设AB长度为x米．
（1）要是矩形学生公寓ABCD的面积不小于144平方米，AB的长度应在什么范围？
（2）长度AB和宽度AD分别为多少米是矩形学生公寓ABCD的面积最大？最大值是多少平方米？

Answer 1

分析 （1）首先利用三角形的相似性，求得边AD与边AB的长度关系，建立三角形面积函数模型，再由s≥144，得出边AB的长度范围；
（2）由二次函数配方求最值求得．

解答 解：（1）依题意设AD=t，则$\frac{20-t}{20}$=$\frac{x}{30}$，
∴t=20-$\frac{2}{3}$x，
所以s=（20-$\frac{2}{3}$x）x，
又∵s≥144，
∴x²-30x+216≤0，解得12≤x≤18，
要使公寓ABCD的面积不小于144平方米，
即12≤x≤18，即AB的长度应在[12，18]内；
（2）s=（20-$\frac{2}{3}$x）x=-$\frac{2}{3}$（x-15）²+150，
当x=15时，t=20-10=10，s取得最大值150．
答：AB=15米，AD=10米时，公寓ABCD的面积最大，最大值是150平方米．

点评 本题主要考查二次函数的最值的求法和二次不等式的解法，考查运算能力，属于中档题．