Question

如图，在三棱锥S－ABC中，A₁、B₁、C₁分别是ΔSBC、ΔSCA、ΔSAB的重心，

(1)求证：平面A₁B₁C₁∥平面ABC；

(2)求三棱锥S－A₁B₁C₁与S－ABC体积之比．

Answer 1

答案：
解析：

证：(1)：∵A1、B1、C1是ΔSBC、ΔSCA、ΔSAB的重心，连SA1、SC1并延长交BC、AB于N、M，则N、M必是BC和AB的中点．连MN 　　∵＝＝， 　　∴A1C1∥MN． 　　∵MN平面ABC， 　　∴A1C1∥平面ABC． 　　同理可证A1B1∥平面ABC． 　　∴平面A1B1C1∥平面ABC． 　　(2)由(1)＝，MN∥AC， 　　∴A1C1∥AC． 　　同理可证：A1B1∥AB， 　　B1C1∥BC． 　　∴ΔA1B1C1≌ΔABC， 　　S＝SΔABC． 　　设三棱锥S－ABC的高为h，S－A1B1C1的高为h1则有：＝＝，∴h1＝h． 　　∴＝＝． 　　评析：要掌握线面平行的相互转化的思想方法外，还要有扎实的相似形和线段成比例的基础．

提示：

本题显然应由三角形重心的性质，结合成比例线段的关系推导出“线线平行”再到“线面平行”到“面面平行”，至于体积的比的计算只要能求出相似三角形面积的比和对应高的比就可以了．