Question

11．用反证法证明：若a，b，c，d均为小于1的正数，且x=4a（1-b），y=4b（1-c），z=4c（1-d），t=4d（1-a），则x，y，z，t四个数中，至少有一个不大于1．

Answer 1

分析 根据题意，假设原命题不成立，得出矛盾的结论，即可证原命题成立．

解答 证明：用反证法，
假设x，y，z，t均为小于1的正数，则4a（1-b）≤[a+（1-b）]²=（a-b+1）²…①
4b（1-c）≤[b+（1-c）]²=（b-c+1）²…②
4c（1-d）≤[c+（1-d）]²=（c-d+1）²…③
4d（1-a）≤[d+（1-a）]²=（d-a+1）²…④
不妨就设4a（1-b）、4b（1-c）、4c（1-d）都大于1，显然，可得：a-b＞0；b-c＞0；c-d＞0，
那么肯定a-d＞0，于是代入④中有：4d（1-a）＜1
同理可以证明当某3项大于1时，剩下1项肯定小于1，
因此，4a（1-b）、4b（1-c）、4c（1-d）、4d（1-a）这四个数不可能都大于1，即原命题得证．

点评 本题考查反证法的运用，注意反证法的步骤以及明确指出矛盾即可．